Der Gauß-Algorithmus

Lineare Gleichungssysteme (3×3) systematisch lösen

Klasse 11 | Gymnasium

Autor: David März | März Akademie

Was ist der Gauß-Algorithmus?

Der Gauß-Algorithmus (auch gaußsches Eliminationsverfahren genannt) ist ein systematisches Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme. Mit diesem Verfahren kannst du Gleichungssysteme mit drei Gleichungen und drei Unbekannten (3×3-Systeme) sicher und strukturiert lösen.

Das Grundprinzip:

Durch geschicktes Umformen bringst du das Gleichungssystem in eine Zeilenstufenform, bei der du die Lösung durch Rückwärtseinsetzen einfach ablesen kannst.

Die drei Hauptschritte:

  1. Zeilenstufenform herstellen: Erzeuge Nullen unterhalb der Diagonale
  2. Erste Lösung ablesen: Bestimme z aus der letzten Zeile
  3. Rückwärtseinsetzen: Berechne y und dann x

Erlaubte Umformungen

Bei der Umformung des Gleichungssystems darfst du folgende Operationen durchführen, ohne die Lösungsmenge zu verändern:

  1. Zeilen vertauschen: Die Reihenfolge der Gleichungen ändern
  2. Zeile mit Zahl multiplizieren: Eine ganze Gleichung mit einer Zahl ≠ 0 multiplizieren
  3. Zeilen addieren/subtrahieren: Das Vielfache einer Zeile zu einer anderen addieren oder davon subtrahieren

Schritt-für-Schritt Beispiel

Gegeben sei das Gleichungssystem:

(I)    x + y + z = 6
(II)   2x + y - z = 6
(III)  x + 2y + z = 9

Ziel: Finde die Werte für x, y und z, die alle drei Gleichungen gleichzeitig erfüllen.

1Matrixschreibweise (erweiterte Koeffizientenmatrix)

Zunächst schreiben wir das Gleichungssystem als Matrix. Dabei übertragen wir nur die Zahlen (Koeffizienten) vor den Variablen und die Ergebnisse:

(I)    x + y + z = 6
(II)   2x + y - z = 6
(III)  x + 2y + z = 9

↓ Als Matrix dargestellt ↓

(
1
1
1
6
2
1
-1
6
1
2
1
9
)
x y z │ Ergebnis
Die erste Spalte enthält die Koeffizienten von x, die zweite von y, die dritte von z. Nach dem vertikalen Trennstrich stehen die Ergebnisse der Gleichungen.

2Nullen in der ersten Spalte erzeugen (x eliminieren)

Ziel: Unterhalb der ersten Zeile sollen in der ersten Spalte nur Nullen stehen.

Schritt 2a: Zeile II umformen

Wir wollen die 2 in Zeile II zu 0 machen. Dazu rechnen wir:

II' = II - 2·I

Das bedeutet: Neue Zeile II = Zeile II minus das 2-fache von Zeile I

Rechnung für jedes Element:

• x-Koeffizient: 2 - 2·1 = 2 - 2 = 0 ✓

• y-Koeffizient: 1 - 2·1 = 1 - 2 = -1

• z-Koeffizient: -1 - 2·1 = -1 - 2 = -3

• Ergebnis: 6 - 2·6 = 6 - 12 = -6

Schritt 2b: Zeile III umformen

Wir wollen die 1 in Zeile III zu 0 machen:

III' = III - I

Rechnung für jedes Element:

• x-Koeffizient: 1 - 1 = 0 ✓

• y-Koeffizient: 2 - 1 = 1

• z-Koeffizient: 1 - 1 = 0

• Ergebnis: 9 - 6 = 3

Ergebnis nach Schritt 2:

(
1
1
1
6
0
-1
-3
-6
0
1
0
3
)

✓ Erste Spalte unter der Diagonale ist jetzt 0!

3Null in der zweiten Spalte erzeugen (y eliminieren)

Ziel: In Zeile III soll in der zweiten Spalte eine 0 stehen.

Wir wollen die 1 in Zeile III (zweite Spalte) zu 0 machen:

III'' = III' + II'

Rechnung für jedes Element:

• x-Koeffizient: 0 + 0 = 0

• y-Koeffizient: 1 + (-1) = 0 ✓

• z-Koeffizient: 0 + (-3) = -3

• Ergebnis: 3 + (-6) = -3

Ergebnis - Zeilenstufenform erreicht!

(
1
1
1
6
0
-1
-3
-6
0
0
-3
-3
)

✓ Zeilenstufenform erfolgreich hergestellt!

In der Zeilenstufenform siehst du die charakteristische "Treppenstufen"-Struktur:

  • Unter der Diagonale stehen nur noch Nullen
  • Die führenden Elemente (1, -1, -3) bilden die "Stufen"
  • Jetzt können wir durch Rückwärtseinsetzen die Lösung bestimmen

4Erste Lösung ablesen (z bestimmen)

Aus der letzten Zeile der Matrix können wir direkt die erste Lösung ablesen:

Aus Gleichung III'' ablesen:

0x + 0y - 3z = -3

Da x und y mit 0 multipliziert werden, fallen sie weg:

-3z = -3

⇓

z = 1

z = 1 ✓

5Rückwärtseinsetzen - y bestimmen

Jetzt setzen wir den Wert von z in die zweite Zeile ein:

Aus Gleichung II' einsetzen:

0x - y - 3z = -6

Setze z = 1 ein:

-y - 3·1 = -6

-y - 3 = -6

-y = -6 + 3

-y = -3

y = 3

y = 3 ✓

6Rückwärtseinsetzen - x bestimmen

Zum Schluss setzen wir y und z in die erste Zeile ein:

Aus Gleichung I einsetzen:

x + y + z = 6

Setze y = 3 und z = 1 ein:

x + 3 + 1 = 6

x + 4 = 6

x = 6 - 4

x = 2

x = 2 ✓

🎯 Lösung des Gleichungssystems

x = 2
y = 3
z = 1

7Probe (Kontrolle)

Überprüfe deine Lösung, indem du die Werte in die Originalgleichungen einsetzt:

(I) x + y + z = 6:

2 + 3 + 1 = 6 ✓

(II) 2x + y - z = 6:

2·2 + 3 - 1 = 4 + 3 - 1 = 6 ✓

(III) x + 2y + z = 9:

2 + 2·3 + 1 = 2 + 6 + 1 = 9 ✓

Alle Gleichungen sind erfüllt! ✓✓✓

Zusammenfassung des Gauß-Algorithmus

Die 3 Hauptphasen:

  1. Zeilenstufenform herstellen:
    • Erzeuge Nullen in der 1. Spalte (unter der ersten Zeile)
    • Erzeuge Nullen in der 2. Spalte (unter der zweiten Zeile)
    • Nutze dabei Zeilenoperationen: Multiplikation und Addition/Subtraktion
  2. Erste Variable ablesen:
    • Aus der letzten Zeile kannst du z direkt berechnen
  3. Rückwärtseinsetzen:
    • Setze z in die vorletzte Zeile ein → berechne y
    • Setze y und z in die erste Zeile ein → berechne x
Führe immer eine Probe durch! Setze deine Lösungswerte in die Originalgleichungen ein und prüfe, ob sie stimmen.

Häufige Fehler vermeiden

Diese Fehler passieren selbst erfahrenen Schüler:innen - achte besonders darauf!

Vorzeichenfehler beim Subtrahieren

Beim Rechnen "II - 2·I" musst du ALLE Koeffizienten von I mit 2 multiplizieren UND dann subtrahieren!

Beispiel: Wenn I = (1, 2, -1 | 3), dann ist 2·I = (2, 4, -2 | 6)

Besonders bei negativen Zahlen aufpassen: -1 - (-2) = -1 + 2 = 1

Erste Zeile hat eine 0 an der falschen Stelle

Was tun, wenn in der ersten Zeile an erster Stelle eine 0 steht?

Lösung: Tausche die erste Zeile mit einer anderen Zeile, die dort keine 0 hat!

Das ist eine erlaubte Operation und macht das Rechnen viel einfacher.

Vergessen, eine ganze Zeile umzuformen

Beim Gauß-Algorithmus musst du ALLE Einträge der Zeile umformen - auch die rechte Seite!

Vergisst du das Ergebnis (rechts vom Trennstrich), wird deine Lösung falsch.

Brüche nicht korrekt durchrechnen

Wenn Brüche entstehen, arbeite konsequent mit Brüchen weiter oder wandle ALLE Zahlen in Dezimalzahlen um.

Mischen führt zu Rundungsfehlern!

Tipp: Bei Brüchen kannst du die Zeile mit dem Nenner multiplizieren, um sie zu vereinfachen.

Probe vergessen oder falsch durchführen

Die Probe ist KEIN optionaler Schritt - sie zeigt dir, ob du richtig gerechnet hast!

Setze x, y und z in ALLE drei Originalgleichungen ein (nicht in die umgeformten!).

Sonderfälle nicht erkennen

Achte während des Rechnens darauf:

  • Entsteht "0 = 5" oder ähnlich? → Sofort stoppen, keine Lösung!
  • Wird eine Zeile zu "0 = 0"? → Unendlich viele Lösungen!

Du musst nicht bis zum Ende rechnen, wenn du einen Sonderfall erkennst.

Praktische Rechentipps

Mit diesen Tricks wird das Rechnen einfacher und du machst weniger Fehler:

💡 Tipp 1: Zeilen geschickt tauschen

Wenn in der ersten Zeile an erster Stelle eine 1 steht, wird das Rechnen viel einfacher!

Vorher (schwierig):

3x + 2y + z = 7

x + y + z = 6

2x - y + 3z = 5

Nachher (einfacher): Tausche Zeile I und II!

x + y + z = 6 ← Jetzt steht hier eine 1!

3x + 2y + z = 7

2x - y + 3z = 5

💡 Tipp 2: Mit ganzen Zahlen arbeiten

Vermeide Brüche, indem du Zeilen geschickt mit Zahlen multiplizierst:

Wenn du II' = II - 3·I rechnen musst, aber I hat einen Bruch...

Lösung: Multipliziere I zuerst mit dem Nenner, dann rechne weiter!

💡 Tipp 3: Ordentlich aufschreiben

Schreibe jeden Schritt sauber untereinander:

  • Nutze die Matrixschreibweise - sie ist übersichtlicher
  • Schreibe auf, welche Operation du machst (z.B. "II' = II - 2·I")
  • Lasse Platz zwischen den Schritten
  • Markiere die Nullen, die du erzeugt hast

💡 Tipp 4: Zwischenproben machen

Überprüfe nach jedem großen Schritt:

  • Habe ich die gewünschten Nullen erzeugt?
  • Sind meine Vorzeichen korrekt?
  • Habe ich alle Einträge der Zeile umgeformt?

💡 Tipp 5: Bei Fehlern nicht neu anfangen

Wenn die Probe nicht stimmt:

  1. Prüfe zuerst das Rückwärtseinsetzen - hier passieren die meisten Fehler
  2. Dann prüfe die letzte Umformung (zur Zeilenstufenform)
  3. Arbeite dich rückwärts durch deine Schritte

Oft ist der Fehler in einem der letzten Schritte!

Kompakte Zusammenfassung (Cheat Sheet)

🎯 Der Gauß-Algorithmus in 3 Schritten

Schritt 1: Zeilenstufenform herstellen

Ziel: Unter der Diagonale nur Nullen

  1. Erzeuge Nullen in der 1. Spalte (unter der 1. Zeile)
  2. Erzeuge Nullen in der 2. Spalte (unter der 2. Zeile)
  3. Fertig, wenn du eine Treppe siehst!

Erlaubte Operationen:

  • Zeilen vertauschen
  • Zeile mit Zahl ≠ 0 multiplizieren
  • Vielfaches einer Zeile zu anderer addieren/subtrahieren

Schritt 2: Erste Lösung ablesen

Aus der letzten Zeile: Bestimme z

Beispiel: 0·x + 0·y - 3·z = -3 → z = 1

Schritt 3: Rückwärtseinsetzen

  1. Setze z in die 2. Zeile ein → Berechne y
  2. Setze y und z in die 1. Zeile ein → Berechne x

Entscheidungsbaum: Welcher Fall?

Nach Zeilenstufenform prüfen:

Gibt es "0 = c" (c ≠ 0)?

→ JA: ❌ KEINE LÖSUNG

→ NEIN: Weiter prüfen...

Gibt es "0 = 0" (Nullzeile)?

→ JA: ∞ UNENDLICH VIELE

→ NEIN: ✅ GENAU EINE LÖSUNG

Wichtigste Regeln

  • ✅ Immer ALLE Einträge einer Zeile umformen (auch rechts!)
  • ✅ Vorzeichen besonders bei Subtraktion beachten
  • ✅ Probe am Ende ist Pflicht!
  • ✅ Bei 0 an ungünstiger Stelle: Zeilen tauschen
  • ✅ Ordentlich aufschreiben - du siehst Fehler schneller

Sonderfälle: Wann gibt es keine oder unendlich viele Lösungen?

Nicht jedes Gleichungssystem hat genau eine Lösung! Es gibt drei mögliche Fälle, die du nach dem Gauß-Algorithmus an der Zeilenstufenform erkennen kannst.

Die 3 Fälle der Lösbarkeit:

  1. Eindeutig lösbar → Genau eine Lösung (x, y, z)
  2. Widersprüchlich → Keine Lösung
  3. Unterbestimmt → Unendlich viele Lösungen

Fall 1: Eindeutig lösbar ✅

Kennzeichen: Jede Zeile in der Zeilenstufenform hat ein führendes Element (≠ 0)

(I)    x + y + z = 6
(II)   2x + y - z = 6
(III)  x + 2y + z = 9

↓ Gauß-Algorithmus anwenden ↓

(
1
1
1
6
0
-1
-3
-6
0
0
-3
-3
)
✅ Jede Zeile hat ein führendes Element → Eindeutig lösbar!
Lösung: x = 2, y = 3, z = 1

Fall 2: Keine Lösung (Widerspruch) ❌

Kennzeichen: Eine Zeile enthält nur Nullen links vom Trennstrich, aber rechts steht eine Zahl ≠ 0

(I)    x + 2y + z = 6
(II)   2x + 4y + 2z = 10   ← Achtung!
(III)  x + 2y + z = 8

↓ Gauß-Algorithmus anwenden ↓

(
1
2
1
6
0
0
0
-2
0
0
0
2
)

Zweite Zeile bedeutet: 0·x + 0·y + 0·z = -2

Das heißt: 0 = -2

❌ Das ist ein Widerspruch!

❌ Keine Lösung! Das Gleichungssystem ist widersprüchlich.
Geometrisch: Die drei Ebenen haben keinen gemeinsamen Schnittpunkt.

Fall 3: Unendlich viele Lösungen ∞

Kennzeichen: Eine komplette Nullzeile (0 = 0)

(I)    x + 2y + z = 6
(II)   2x + 4y + 2z = 12   ← Ist 2·(I)!
(III)  3x + 6y + 3z = 18   ← Ist 3·(I)!

↓ Gauß-Algorithmus anwenden ↓

(
1
2
1
6
0
0
0
0
0
0
0
0
)

Zweite und dritte Zeile: 0 = 0

Das ist immer wahr, gibt aber keine neue Information!

Wir haben nur eine Gleichung für drei Unbekannte.

Lösung mit Parametern:

Aus (I): x + 2y + z = 6

Setze z = t und y = s (freie Parameter)

Dann: x = 6 - 2s - t

Lösung: x = 6 - 2s - t, y = s, z = t

Beispiellösungen:

• s=0, t=0: x=6, y=0, z=0

• s=1, t=1: x=3, y=1, z=1

• s=2, t=0: x=2, y=2, z=0

• s=0, t=3: x=3, y=0, z=3

... und unendlich viele weitere!

∞ Unendlich viele Lösungen!
Geometrisch: Die drei Ebenen sind identisch oder schneiden sich in einer Geraden.

🎯 Entscheidungsbaum: Welcher Fall liegt vor?

Nach dem Gauß-Algorithmus prüfe die Zeilenstufenform:

1. Gibt es eine Zeile: 0 = c (mit c ≠ 0)?

├─ JA → ❌ KEINE LÖSUNG

└─ NEIN

2. Gibt es eine Nullzeile (0 = 0)?

├─ JA → ∞ UNENDLICH VIELE LÖSUNGEN

└─ NEIN → ✅ GENAU EINE LÖSUNG

Praxis-Tipp: Während des Gauß-Algorithmus kannst du Sonderfälle früh erkennen:
  • Entsteht "0 = 5" → Sofort stoppen, keine Lösung!
  • Wird eine Zeile zu "0 = 0" → Notieren, unendlich viele Lösungen!

Übungsaufgaben

Löse die folgenden Gleichungssysteme mit dem Gauß-Algorithmus. Führe alle Schritte sorgfältig durch und mache am Ende eine Probe!

Aufgabe 1
(I)    3x + 2y + 2z = 13
(II)   -2x + 3y + 2z = 10
(III)  3x - 2y - z = -4
Aufgabe 2
(I)    -2x + y = -3
(II)   z = 1
(III)  -x - 2y + 3z = -1
Aufgabe 3
(I)    -x + y + z = 0
(II)   -x - y + 2z = -3
(III)  3x + 2y + z = 14
Aufgabe 4
(I)    3x - y - z = -2
(II)   x - 2y - 2z = -9
(III)  2x - 2y + z = -2
Aufgabe 5
(I)    -2x + 3y - z = 4
(II)   2x - 2y - 2z = -4
(III)  2x - 2y + 2z = 0
Aufgabe 6
(I)    -y + 2z = 3
(II)   2x + z = 10
(III)  x + 3y = 7
Aufgabe 7
(I)    -2x - y + z = -1
(II)   -y - 2z = -5
(III)  3z = 6
Aufgabe 8
(I)    x - y + z = 3
(II)   2y = 2
(III)  -x + 3y + 3z = 3
Aufgabe 9
(I)    3x + 3y + 3z = 21
(II)   -2x + y - z = -5
(III)  2x - z = 1
Aufgabe 10
(I)    -2x + y + 3z = 5
(II)   3x - y - 2z = -3
(III)  -2x - 2y = -10

💪 Tipps für die Übungsaufgaben:

  • Arbeite systematisch und ordentlich - schreibe jeden Schritt auf
  • Überprüfe nach jedem Schritt, ob du die gewünschten Nullen erzeugt hast
  • Nutze die Matrixschreibweise für mehr Übersichtlichkeit
  • Mache immer eine Probe am Ende
  • Bei Fehlern: Schaue, wo du einen Rechenfehler gemacht hast

Zusätzliche Übungsaufgaben: Sonderfälle

Diese Aufgaben haben nicht alle eine eindeutige Lösung! Manche haben keine Lösung, andere haben unendlich viele Lösungen.

Deine Aufgabe:
  1. Wende den Gauß-Algorithmus an
  2. Erkenne selbst, welcher Fall vorliegt:
    • ✅ Genau eine Lösung?
    • ❌ Keine Lösung (Widerspruch)?
    • ∞ Unendlich viele Lösungen (Nullzeile)?
  3. Bei unendlich vielen Lösungen: Gib die Lösung mit Parametern an
Aufgabe 11
(I)    2x + y - z = 5
(II)   4x + 2y - 2z = 10
(III)  6x + 3y - 3z = 15
Aufgabe 12
(I)    2x + y - z = 4
(II)   4x + 2y - 2z = 7
(III)  6x + 3y - 3z = 12
Aufgabe 13
(I)    x - y + 2z = 3
(II)   2x - 2y + 4z = 5
(III)  3x - 3y + 6z = 9
Aufgabe 14
(I)    x + 2y + 3z = 10
(II)   2x + 4y + 6z = 20
(III)  x + 2y + 3z = 10
Aufgabe 15
(I)    x + y + z = 6
(II)   2x + 2y + 2z = 12
(III)  3x + 3y + 3z = 18
Aufgabe 16
(I)    x - 2y + z = 4
(II)   2x - 4y + 2z = 8
(III)  -x + 2y - z = -4
Aufgabe 17
(I)    3x - y + 2z = 8
(II)   6x - 2y + 4z = 16
(III)  -3x + y - 2z = -8
Aufgabe 18
(I)    x + 3y + z = 7
(II)   2x + 6y + 2z = 15
(III)  x + 3y + z = 7
Aufgabe 19
(I)    x + 2y + z = 6
(II)   2x + 4y + 2z = 10
(III)  x + 2y + z = 8
Aufgabe 20
(I)    x + y + z = 5
(II)   2x + 2y + 2z = 8
(III)  x + y + z = 5
Tipp: Achte während des Gauß-Algorithmus darauf:
  • Entsteht eine Zeile wie "0 = 5"? → Keine Lösung!
  • Entsteht eine Zeile wie "0 = 0"? → Unendlich viele Lösungen!
  • Alle Zeilen haben führende Elemente? → Genau eine Lösung!

Lösungen zu den Übungsaufgaben

Hier findest du die Lösungen zu allen Aufgaben. Versuche die Aufgaben erst selbst zu lösen, bevor du die Lösungen anschaust!

Aufgaben 1-10: Eindeutig lösbar

Aufgabe 1: x = 1, y = 2, z = 3
Aufgabe 2: x = 2, y = 1, z = 1
Aufgabe 3: x = 3, y = 2, z = 1
Aufgabe 4: x = 1, y = 3, z = 2
Aufgabe 5: x = 2, y = 3, z = 1
Aufgabe 6: x = 4, y = 1, z = 2
Aufgabe 7: x = 1, y = 1, z = 2
Aufgabe 8: x = 3, y = 1, z = 1
Aufgabe 9: x = 2, y = 2, z = 3
Aufgabe 10: x = 1, y = 4, z = 1
Wenn deine Lösung nicht stimmt, prüfe jeden Rechenschritt! Die häufigsten Fehler passieren beim Rückwärtseinsetzen.

Aufgaben 11-20: Sonderfälle

Aufgabe 11: ∞ Unendlich viele Lösungen
Lösung: x = (5-s+t)/2, y = s, z = t (mit Parametern s und t)
Aufgabe 12: ❌ Keine Lösung
Widerspruch: 0 = -1
Aufgabe 13: ❌ Keine Lösung
Widerspruch: 0 = -1
Aufgabe 14: ∞ Unendlich viele Lösungen
Lösung: x = 10-2s-3t, y = s, z = t
Aufgabe 15: ∞ Unendlich viele Lösungen
Lösung: x = 6-s-t, y = s, z = t
Aufgabe 16: ∞ Unendlich viele Lösungen
Lösung: x = 4+2s-t, y = s, z = t
Aufgabe 17: ∞ Unendlich viele Lösungen
Lösung: x = (8+s-2t)/3, y = s, z = t
Aufgabe 18: ❌ Keine Lösung
Widerspruch: 0 = 1
Aufgabe 19: ❌ Keine Lösung
Widerspruch: 0 = -2
Aufgabe 20: ❌ Keine Lösung
Widerspruch: 0 = -2
Bei unendlich vielen Lösungen kannst du deine Parameterlösung testen: Setze konkrete Werte für s und t ein und prüfe in den Originalgleichungen!

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